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leurs pour un temps quelconque. Cette méthode conduit à des équations fort simples et très faciles à intégrer, quel que soit le nombre des variables, et c’est là un de ses principaux avantages. J’en ai donné une idée fort succincte dans le Volume de l’Académie pour l’année 1772, I^re Partie, p. 651 ^[1]. Je vais la développer ici avec plus d’étendue, et l’appliquer au mouvement des planètes. Les exemples suivants la feront mieux entendre que des généralités toujours difficiles à saisir.

Exemple 1. – Soit proposé d’intégrer l’équation différentielle

(1)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y=\alpha y\cos 2t,$

$\alpha$ étant supposé fort petit et $dt$ constant. J’intègre d’abord celle-ci

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y=0,$

ce qui donne, par les méthodes connues,

$y=p\sin t+q\cos t,$

$p$ et $q$ étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dx}},$ lorsque $t=0\,;$ c’est l’expression de $y,$ en y supposant $\alpha =0.$ Soit maintenant

$y=p\sin t+q\cos t+\alpha z,$

et l’équation (1) donnera, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z={\frac {p}{2}}\sin 3t-{\frac {p}{2}}\sin t+{\frac {q}{2}}\cos 3t+{\frac {q}{2}}\cos t\,;$

d’où l’on aura, en intégrant,

$z={\frac {p}{4}}t\cos t+{\frac {q}{4}}t\sin t-{\frac {p}{16}}\sin 3t-{\frac {q}{16}}\cos 3t.$

Il est inutile d’ajouter ici de nouvelles constantes, parce qu’elles sont

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 361.