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L’équation (3) deviendra donc, en y substituant au lieu de $'\!p$ et de $'\!q$ ces valeurs, et en y supposant $t_{1}=0,$

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha {\frac {2l^{2}+f^{2}+h^{2}}{2}}+f\sin(\mathrm {T} +\alpha l\mathrm {T} )+h\cos(\mathrm {T} +\alpha l\mathrm {T} )\\&+\alpha {\frac {h^{2}-f^{2}}{6}}\cos(2\mathrm {T} +2\alpha l\mathrm {T} )+\alpha {\frac {fh}{3}}\sin(2\mathrm {T} +2\alpha l\mathrm {T} ).\end{aligned}}\right.$

C’est l’expression de $y,$ après le temps quelconque $\mathrm {T} .$

Si l’on voulait porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on ferait

$y=l-\alpha {\frac {2l^{2}+f^{2}+h^{2}}{2}}+f\sin(t+\alpha lt)+h\cos(t+\alpha lt)+\ldots +\alpha ^{2}z,$

et l’on opérerait comme on vient de le voir, en faisant varier les nouvelles arbitraires $f$ et $h,$ et ainsi de suite.

L’équation que je viens d’intégrer est très simple, aussi ne l’ai-je choisie que pour faire entendre cette nouvelle méthode ; mais, si l’on avait, entre les $n$ variables $y,y',y'',\ldots ,y^{n},$ les $n$ équations suivantes, lesquelles sont de la même nature que celles du mouvement des planètes,

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ +q^{2}\ y\ =\alpha \left\{{\begin{aligned}(0)y\ &+(0,1)\ \ y'\ \ \cos(q'\ -q)t\\&+{\overline {(0,1)}}{\frac {dy'}{dt}}\,\sin(q'\ -q)t\\&+(0,2)\ \ y''\ \,\cos(q''-q)t\\&+{\overline {(0,2)}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''\,-q)t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+q'^{2}y'=\alpha \left\{{\begin{aligned}(1)y'&+(1,0)\ \ y\quad \cos(q\ -q')t\\&+{\overline {(1,0)}}{\frac {dy}{dt}}\ \ \sin(q\,\ -q')t\\&+(1,2)\ \ y''\ \,\cos(q''-q')t\\&+{\overline {(1,2)}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''-q')t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

${\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+q''^{2}y''=\alpha \left\{(2)y''+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$