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stitution et de former ainsi l’équation (3) ; car il n’est besoin alors que d’une seule intégration, l’équation (2) étant facile à conclure de l’équation (3) en y supposant $\mathrm {T} =0,$ auquel cas $'\!p$ et $'\!q$ deviennent $p$ et $q\,;$ maintenant, si l’on avait $\alpha =0,$ on aurait, en comparant les équations (2) et (3), $'\!p=p$ et $'\!q=q\,;$ donc $'\!p$ et $'\!q$ ne diffèrent de $p$ et de $q$ que des quantités de l’ordre $\alpha \,;$ soit donc $'\!p=p+\delta p$ et $'\!q=q+\delta q,\ \delta p$ et $\delta q$ étant de l’ordre $\alpha \,;$ cela posé, si l’on retranche l’équation (2) de l’équation (3), on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et observant que $t=\mathrm {T} +t_{1},$

$0=(\delta p+\alpha l\mathrm {T} q)\sin t+(\delta q-\alpha l\mathrm {T} p)\cos t,$

équation qui, à cause de $t$ variable et de $\mathrm {T}$ supposé constant, se partage dans les deux suivantes

(4)

$\delta p=-\alpha l\mathrm {T} q,$

(5)

$\delta q=\quad \alpha l\mathrm {T} p,$

d’où l’on voit que $p$ et $q$ sont fonctions de $\alpha l\mathrm {T} .$ Pour déterminer ces fonctions, soit $\alpha l\mathrm {T} =x,$ et l’on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}'\!p=&p+\delta p=p+x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\'\!q=&q\,+\delta q=q\,+x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

donc

$\delta p=x{\frac {dp}{dx}}+\ldots \qquad$et$\qquad \delta q=x{\frac {dq}{dx}}+\ldots .$

Les équations (4) et (5) deviendront ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre $x^{2},$ ou, ce qui revient au même, en comparant les termes multipliés par $x,$

${\frac {dp}{dx}}=-q,\qquad {\frac {dq}{dx}}=p\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$p=f\cos x-h\sin x,\qquad q=f\sin x+h\cos x\,;$

$f$ et $h$ étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $p$ et de $q,$ lorsque $x=0\,;$ donc on aura

${\begin{aligned}'\!p=&f\cos \alpha l\mathrm {T} -h\sin \alpha l\mathrm {T} ,\\'\!q=&f\sin \alpha l\mathrm {T} +h\cos \alpha l\mathrm {T} ,\\\end{aligned}}$