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ce qui donne

$y=l+p\sin t+q\cos t,$

$p$ et $q$ étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dx}}$ lorsque $t=0\,;$ c’est l’expression de $y$ lorsqu’on y suppose $\alpha =0\,;$ je fais ensuite

$y=l+p\sin t+q\cos t+\alpha z\,;$

substituant cette valeur dans l’équation (1), elle donne, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ et en l’intégrant,

$z=-{\frac {2l^{2}+p^{2}+q^{2}}{2}}-lqt\sin t+lpt\cos t+{\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {pq}{3}}\sin 2t.$

Il est inutile d’ajouter ici de nouvelles constantes, parce qu’elles sont déjà renfermées dans la première valeur de $y\,;$ partant, on aura

(2)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha {\frac {2l^{2}+p^{2}+q^{2}}{2}}+(p-\alpha lqt)\sin t+(q+\alpha lpt)\cos t\\&+\alpha {\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {\alpha pq}{3}}\sin 2t.\end{aligned}}\right.$

Que l’on fasse présentement, dans l’équation (1), $t=\mathrm {T} +t_{1},\ \mathrm {T}$ étant supposé constant, elle deviendra

$0={\frac {d^{2}y}{dt_{1}^{2}}}+y-l+\alpha y^{2}\,;$

d’où l’on tirera en l’intégrant, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et en ajoutant les constantes arbitraires de manière qu’elles coïncident avec celles de l’équation (2), lorsqu’on suppose $\alpha =0,$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha {\frac {2l^{2}+'\!p^{2}+'\!q^{2}}{2}}+\left('\!p-\alpha l.'\!qt_{1}\right)\sin \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left('\!q+\alpha l.'\!pt_{1}\right)\cos \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&+\alpha {\frac {'\!q^{2}-'\!p^{2}}{6}}\cos \left(2\mathrm {T} +2t_{1}\right)+\alpha {\frac {'\!p.'\!q}{3}}\sin \left(2\mathrm {T} +2t_{1}\right),\end{aligned}}\right.$

$'\!p$ et $'\!q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t_{1}=0.$ Au lieu d’intégrer deux fois l’équation (1) : 1^o sans y substituer $\mathrm {T} +t_{1},$ au lieu de $t\,;$ 2^o en se servant de cette substitution, il sera plus simple de faire usage d’abord de cette sub-