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on aura, pour le nombre $n$ de planètes, les $n$ équations

$(\sigma )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}h\mathrm {A} \ =&(0,1)\mathrm {A} -{\overline {(0,1)}}\mathrm {A} '\\+&(0,2)\mathrm {A} -{\overline {(0,2)}}\mathrm {A} ''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h\mathrm {A} '\,=&(1,0)\mathrm {A} '-{\overline {(1,0)}}\mathrm {A} \\+&(1,2)\mathrm {A} '-{\overline {(1,2)}}\mathrm {A} ''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h\mathrm {A} ''=&(2,0)\mathrm {A} ''-{\overline {(2,0)}}\mathrm {A} \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}\right.$

au moyen de ces équations, on aura une équation en $h$ du degré $n,$ d’où l’on aura $n$ racines pour $h\,;$ et, en désignant par $h,\,'h,\,''h,\ldots$ ces $n$ racines, on aura, pour les expressions complètes de $x$ et de $y,$

${\begin{aligned}x=&\mathrm {A} \sin(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} \sin('ht+'\!\alpha )+''\!\mathrm {A} \sin(''ht+''\!\alpha )+\ldots ,\\y=&\mathrm {A} \cos(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} \cos('ht+'\!\alpha )+''\!\mathrm {A} \cos(''ht+''\!\alpha )+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\mathrm {A,\,'\!A,\,''\!A} ,\ldots \,;\alpha ,\,'\!\alpha ,\,''\!\alpha ,\ldots$ étant des constantes telles que $\mathrm {A}$ et $\alpha$ doivent dépendre de $h$ de la même manière que $'\!\mathrm {A}$ et $'\!\alpha$ dépendent de $'h,$ ou que $''\!\mathrm {A}$ et $''\!\alpha$ dépendent de $''h,\ldots .$ On aura, de la même manière,

${\begin{aligned}x'=&\mathrm {A} '\sin(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} '\sin('ht+'\!\alpha )+\ldots ,\\y'=&\mathrm {A} '\cos(ht+\alpha )+'\!\mathrm {A} '\cos('ht+'\!\alpha )+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite. Il faut présentement déterminer les constantes $\mathrm {A,\,'A,\,''A} ,$$\ldots \,;\mathrm {A',\,'\!A'} ,\ldots \,;\ \alpha ,\,'\!\alpha ,\,''\!\alpha ,\ldots .$ Pour cela, nommons $\mathrm {X,X',X''} ,\ldots \,;$$\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ les valeurs de $x,x',x'',\ldots \,;\ y,y',y'',\ldots$ lorsque $t=0,$ et nous aurons

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} \ =&\mathrm {A} \ \sin \alpha +'\!\mathrm {A} \ \sin \,'\!\alpha +\ldots ,\qquad &\mathrm {Y} \ =&\mathrm {A} \ \cos \alpha +'\!\mathrm {A} \ \cos \,'\!\alpha +\ldots ,\\\mathrm {X} '=&\mathrm {A} '\sin \alpha +'\!\mathrm {A} '\sin \,'\!\alpha +\ldots ,&\mathrm {Y} '=&\mathrm {A} '\cos \alpha +'\!\mathrm {A} '\cos \,'\!\alpha +\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$