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et ainsi du reste. Si donc il y a un nombre $n$ de planètes et, par conséquent, un nombre $2n$ de variables, on aura un nombre $2n$ d’équations différentielles linéaires du premier ordre pour les déterminer ; ayant ensuite $x$ et $y,$ on aura facilement $\mathrm {L}$ et $e$ au moyen des équations

$e={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

et

$\operatorname {tang} \mathrm {L} ={\frac {x}{y}}.$

En faisant des opérations analogues sur les équations relatives au mouvement des nœuds et à l’inclinaison des orbites, on aura

${\begin{aligned}dz\ =&\left[(0,1)(s'-s)+(0,2)(s''-s)+\ldots \right]dl,\\ds\ =&\left[(0,1)(z-z')+(0,2)(z-z'')+\ldots \right]dt,\\dz'=&\left[(1,0)(s-s')+(1,2)(s''-s')+\ldots \right]dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ces dernières équations sont les mêmes que celles de M. de Lagrange, et l’on voit que les équations du mouvement des aphélies et de l’excentricité ont une forme à peu près semblable, quoique différente à quelques égards ; celles du mouvement des nœuds et de l’inclinaison y sont réductibles en y supposant ${\overline {(0,1)}}=(0,1),\ (0,2)={\overline {(0,2)}},\ldots ,$ il nous suffira donc ici de considérer les équations de l’excentricité et des aphélies, d’autant plus que M. de Lagrange a traité les autres dans le plus grand détail.

XV.

Si l’on fait, suivant la méthode que M. de Lagrange a donnée dans le Mémoire cité,

${\begin{alignedat}{2}x\ =&\mathrm {A} \sin(ht+\alpha ),\qquad &y\ =&\mathrm {A} \cos(ht+\alpha ),\\x'=&\mathrm {A} '\sin(ht+\alpha ),\qquad &y'=&\mathrm {A} '\cos(ht+\alpha ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$