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d’ailleurs

${\begin{aligned}\sin(\mathrm {L'-L} )=&\mathrm {\sin L'\cos L-\sin L\cos L'} ={\frac {yx'-xy'}{ee'}},\\\cos(\mathrm {L'-L} )=&\mathrm {\sin L'\sin L+\cos L'\cos L} ={\frac {xx'+yy'}{ee'}}.\end{aligned}}$

Cela posé, on aura les deux équations suivantes :

$ydx-xdy=\left(x^{2}+y^{2}\right)(0,1)dt-{\overline {(0,1)}}(xx'+yy')dt+\ldots$

et

$xdx+ydy={\overline {(0,1)}}(yx'-xy')dt+\ldots .$

Je multiplie la première de ces équations par $y$ et la seconde par $x,$ et je les ajoute ensemble, ce qui donne, après avoir divisé par $\left(x^{2}+y^{2}\right),$

(1)

$dx=dt\left\{{\begin{aligned}&(0,1)y-{\overline {(0,1)}}y'\\+&(0,2)y-{\overline {(0,2)}}y''\\+&(0,3)y-{\overline {(0,3)}}y'''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

Je multiplie ensuite la première des équations précédentes par $x,$ et je la retranche de la seconde multipliée par $y\,;$ ce qui donne

(2)

$dy=dt\left\{{\begin{aligned}-&(0,1)x-{\overline {(0,1)}}x'\\-&(0,2)x-{\overline {(0,2)}}x''\\-&(0,3)x-{\overline {(0,3)}}x'''\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

On aura de la même manière

$dx'=dt\left\{{\begin{aligned}&(1,0)y'-{\overline {(1,0)}}y\\+&(1,2)y'-{\overline {(1,2)}}y''\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

$dy=dt\left\{{\begin{aligned}-&(1,0)x'-{\overline {(1,0)}}x\\-&(1,2)x'-{\overline {(1,2)}}x''\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\,;$