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celui de la révolution de la planète $p\,;$ soit, de plus,

${\overline {(0,\ 1)}}d={\frac {1}{2}}\left[b_{1}\left(1+z^{2}\right)-3bz\right]\delta \mu 'di.360^{\circ },$

que l’on forme des expressions analogues pour $p'',p''',\ldots ,$ considérés par rapport à $p$ de la même manière que $p'$ vient de l’être, et qu’on les représente par $(0,2)dt,{\overline {(0,2)}}dt\,;(0,3)dt,{\overline {(0,3)}}dt\,;\ldots ,$ que l’on désigne par $(1,0),$${\overline {(1,0)}}\,;(1,2),{\overline {(1,2)}}\,;\ldots \,;(2,0),{\overline {(2,0)}}\,;(2,1),{\overline {(2,1)}}\,;\ldots$ des quantités analogues divisées par $dt,$ en considérant les autres planètes par rapport à $p'$ou $p'',\ldots$ comme on vient de les considérer par rapport à $p\,;$ enfin que l’on désigne par $d\mathrm {L} ,de,d\Gamma ,d\gamma ,d\mathrm {L} ',\ldots$ les variations moyennes infiniment petites de $\mathrm {L} ,e,\Gamma ,\gamma ,\mathrm {L} ',\ldots ,$ on aura [M. E., art. 59, p. 221 ^[1]]

${\begin{aligned}d\mathrm {L} =&(0,1)dt-{\overline {(0,1)}}{\frac {e'}{e}}\cos(\mathrm {L'-L} )dt+(0,2)dt+\ldots ,\\de=&{\overline {(0,1)}}e'dt\sin(\mathrm {L'-L} )+{\overline {(0,2)}}e''dt\sin(\mathrm {L''-L} )+\ldots ,\\-d\Gamma =&(0,1)\left[1-{\frac {\gamma '}{\gamma }}\cos(\Gamma '-\Gamma )\right]dt+\ldots ,\\-d\gamma =&(0,1)\gamma '\sin(\Gamma '-\Gamma )dt+\ldots \,;\end{aligned}}$

on aura des équations semblables pour $\mathrm {d} \mathrm {L} ',de',d\gamma ',d\Gamma ',\ldots .$ Je fais présentement

${\begin{alignedat}{2}x\ =&e\sin \mathrm {L} ,\qquad &z\ =&\gamma \sin \Gamma ,\\y\ =&e\cos \mathrm {L} ,&s\ =&\gamma \cos \Gamma ,\\x'=&e'\sin \mathrm {L} ',\qquad &z'=&\gamma '\sin \Gamma ',\\y'=&e'\cos \mathrm {L} ',&s'=&\gamma '\cos \Gamma ',\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \end{alignedat}}$

De là, je conclus

$e={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\qquad$et$\qquad de={\frac {xdx+ydy}{e}}\,;$

ensuite

$\cos \mathrm {L} d\mathrm {L} ={\frac {edx-xde}{e^{2}}},$

donc

$d\mathrm {L} ={\frac {ydx-xdy}{e^{2}}}\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 262.