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$h$ et $h'$ étant fonctions de $x,y$ et $\mu .$ Or, si l’un des deux exposants, $n$ ou $n'$ est moindre que l’unité, on trouvera facilement $\mu$ par l’article précédent. Reste donc à déterminer $\mu ,$ lorsque le moindre des exposants $n$ et $n'$ est égal ou plus grand que l’unité. Or, dans ce cas, l’équation $\mu =0$ satisfait à l’équation de condition, et la règle de M. Euler est exacte. Pour le faire voir, j’observe que l’équation de condition, pour que

$d\mu =\mu ^{n}hdx+\mu ^{n'}h'dy$

soit intégrable, est

$0=(n'-n)hh'\mu ^{n+n'-1}+\mu ^{n+n'}\left(h{\frac {\partial h'}{\partial \mu }}-h'{\frac {\partial h}{\partial \mu }}\right)-\mu ^{n}{\frac {\partial h}{\partial y}}+\mu ^{n'}{\frac {\partial h'}{\partial x}}.$

Il est clair que, si $n$ et $n'$ sont égaux ou plus grands que l’unité, cette quantité devient nulle par la supposition de $\mu =0\,;$ car les quantités ${\frac {\partial h}{\partial y}}$ et ${\frac {\partial h'}{\partial x}}$ ne peuvent devenir infinies en vertu de cette supposition, comme il est aisé de s’en convaincre en réduisant $h$ et $h'$ en suites ascendantes par rapport à $\mu \,;$ les quantités ${\frac {\partial h}{\partial \mu }},{\frac {\partial h'}{\partial \mu }}$ peuvent le devenir, si, par exemple, $h$ et $h'$ renferment des termes tels que $\mu ^{i}\varphi (x,),\ i$ étant positif et moindre que l’unité ; mais la différence de ces termes prise par rapport à $\mu$ et multipliée par $\mu ^{n+n'},$ sera toujours nulle en y faisant $\mu =0,$ puisque $n$ et $n'$ sont supposés plus grands que l’unité. L’équation de condition

$0=(n'-n)\mu ^{n+n'-1}hh'+\mu ^{n+n'}\left(h{\frac {\partial h'}{\partial \mu }}-h'{\frac {\partial h}{\partial \mu }}\right)-\mu ^{n}{\frac {\partial h}{\partial y}}+\mu ^{n'}{\frac {\partial h'}{\partial x}}$

est donc satisfaite par la supposition de $\mu =0.$

On pourrait craindre, cependant, que celle-ci

$0=p{\frac {\partial q}{\partial z}}-q{\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial q}{\partial x}}$

ne le fût pas en vertu de cette même supposition ; car, bien que ces deux équations soient les mêmes, cependant il peut arriver que, pour avoir la seconde, il fallût diviser la première par un facteur ; et, si ce facteur était une puissance positive de $\mu$ alors l’équation $\mu =0,$ qui