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XI.

Problème VI. – On propose de trouver toutes les solutions particulières de l’équation

$dz=pdx+qdy.$

Soit $\mu =0$ une de ces solutions ; on aura, par l’article précédent,

$p=-\mu ^{n}\mathrm {K} {\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\qquad$et$\qquad q=-\mu ^{n'}\mathrm {K} '{\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\,;$

et, puisque l’un des deux exposants $n$ et $n'$ doit être moindre que l’unité, si l’on suppose que ce soit $n,$ on aura

${\frac {\partial p}{\partial z}}=-\mathrm {n} ^{n-1}\mathrm {K} {\frac {\partial \mu }{\partial z}}-\ldots ,$

d’où l’on voit que ${\frac {\partial p}{\partial z}}$ devient infini par la supposition de $\mu =0\,;$ partant, ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial z}}}$ devient nulle par cette même supposition. Si c’était $n'$ qui fût moindre que l’unité, ${\frac {1}{\cfrac {\partial q}{\partial z}}}$ deviendrait nul, en faisant $\mu =0.$ En cherchant donc, parmi les facteurs de ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial z}}}$ et ${\frac {1}{\cfrac {\partial q}{\partial z}}},$ ceux qui satisfont à l’équation

$dz=pdx+qdy$

et distinguant ceux qui sont des intégrales particulières, on aura toutes les solutions particulières de cette équation différentielle.

XII.

Il arrive souvent que l’équation

$dz=pdx+qdy$

n’est point intégrale, et cela a lieu, comme l’on sait, lorsque l’équa-