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Soit $p'$ cette quantité, on aura facilement

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}},\ldots ,$

je nomme $p',p'',\ldots$ ces quantités ; maintenant, si de l’équation $\mu =0$ on tire les valeurs de ${\frac {\partial z}{\partial x}},{\frac {\partial z}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\ldots$ et qu’on les nomme $v\sideset {^{1}}{}v,l,l',\ldots ,$ il est aisé de conclure, par un raisonnement entièrement analogue à celui de l’article II, que l’équation $\mu =0$ ne peut être une intégrale particulière que dans le cas où elle fait évanouir non seulement les quantités $v-p,\sideset {^{1}}{}v-q,$ mais encore les suivantes $l-p',l'-p'',\ldots .$ Puisque l’équation $\mu =0$ fait disparaître $v-p,$ on aura

$v-p=\mu ^{n}\mathrm {K} ,$

et puisqu’elle fait disparaître $\sideset {^{1}}{}v-q,$ on aura

$\sideset {^{1}}{}v-q=\mu ^{n'}\mathrm {K} '.$

Si l’on multiplie la première de ces équations par $dx,$ la seconde, par $dy,$ qu’en suite on les ajoute, on aura

$vdx+\sideset {^{1}}{}vdy-pdx-qdy=\mu ^{n}\mathrm {K} dx+\mu ^{n'}\mathrm {K} 'dy\,;$

ou, à cause de $dz=pdx+qdy,$

$vdx+\sideset {^{1}}{}vdy-dz=\mu ^{n}\mathrm {K} dx+\mu ^{n'}\mathrm {K} 'dy\,;$

mais on a

$v={\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}\qquad$et$\qquad \sideset {^{1}}{}v={\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial z}}}.$

Donc

$d\mu =-\mu ^{n}\mathrm {K} {\frac {\partial \mu }{\partial z}}dx-\mu ^{n'}\mathrm {K} '{\frac {\partial \mu }{\partial z}}dy.$

Or il est aisé de voir que $\mu =0$ ne peut être une intégrale particulière, que dans le cas où le moindre des exposants $n,n'$ est égal ou plus grand que l’unité ; autrement $\mu =0$ n’est qu’une solution particulière.