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X.

Problème V. – Déterminer si une solution $\mu =0$ est une intégrale particulière de l’équation différentielle à trois variables

$dz=pdx+qdy.$

Je suppose que cette équation soit intégrale. Cela posé, si l’on a l’équation $z=\varphi (x,y)$ et que l’on veuille déterminer la variable $z',$ qui répond à $x+\alpha$ et à $y+{\text{ϐ}},$ on aura

$z'=\varphi (x+\alpha ,y+{\text{ϐ}}).$

Or, en supposant $dx$ constant, on a

$\varphi (x+\alpha ,y+{\text{ϐ}})=\varphi (x,y+{\text{ϐ}})+\alpha {\frac {\partial \varphi (x,y+{\text{ϐ}})}{\partial x}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,y+{\text{ϐ}})}{\partial x^{2}}}+\ldots .$

De plus, en supposant $dy$ constant,

${\begin{aligned}\varphi (x,y+{\text{ϐ}})=&\varphi (x,y)+{\text{ϐ}}{\frac {\partial \varphi (x,y)}{\partial y}}+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,y)}{\partial y^{2}}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \varphi (x,y+{\text{ϐ}})}{\partial x}}=&{\frac {\partial \varphi (x,y)}{\partial x}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,y)}{\partial x\partial y}}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Donc on aura

${\begin{aligned}z'=z+\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}&+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\ldots \\+{\text{ϐ}}{\frac {\partial z}{\partial y}}&+\alpha {\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+\ldots \\&+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\ldots \end{aligned}}$

L’équation

$dz=pdx+qdy$

donne

${\frac {\partial z}{\partial x}}=p,\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q.$

Donc

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+p{\frac {\partial p}{\partial z}}.$