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à laquelle satisfait pareillement celle-ci, $y=x,$ on verra facilement que cette dernière équation n’est qu’une solution particulière.

Pour trouver maintenant toutes les solutions particulières sans différences de l’équation $d^{2}y=pdx^{2},$ je suppose que $\mu =0$ soit une de ces solutions ; la proposée peut être transformée dans la suivante :

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=-{\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left(\mu ^{n}{\frac {d^{i}\mu }{dx^{i}}}q+\ldots \right).$

Or, si l’on conçoit $\mu$ sous la forme $y-\mathrm {X,\ X}$ étant fonction de $x,$ on aura

$d^{2}\mu =d^{2}y-d^{2}\mathrm {X} .$

Donc

$p=-\mu ^{n}{\frac {d^{i}\mu }{dx^{i}}}q-\mu ^{n'}{\frac {d^{i'}\mu }{dx^{i'}}}q'-\ldots +{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}.$

Or, si la plus petite des quantités $i,i',\ldots ,$ que je suppose être $i,$ est positive et moindre que l’unité, $d\mu =0$ est une solution particulière qui se déterminera par les articles précédents. Si $i$ est négatif, en supposant $d\mu =0,\ p$ deviendra infini ; partant, $d\mu$ sera facteur de ${\frac {1}{p}}.$ Enfin, si $i=0,\ n$ sera moindre que l’unité ; donc $\mu$ sera facteur de

${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}=-{\frac {1}{n\mu ^{n-1}q+\ldots }}.$

Dans tous ces cas, il sera facile de déterminer toutes les solutions particulières sans différences de l’équation $d^{2}y=pd^{2}x.$

On peut donc, au moyen de la méthode précédente, déterminer toutes les solutions particulières des équations différentielles du second ordre ; il est aisé de voir qu’elle s’étend également aux ordres ultérieurs, mais il serait inutile de nous y arrêter davantage. Appliquons-la présentement aux équations qui renferment trois variables.