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Si l’on a l’équation différentielle

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=p,$

$p$ étant fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ étant supposé constant ; que l’on différentie $p$ par rapport à ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ et que l’on nomme ${\frac {1}{q}}$ cette différence divisée par ${\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}}}\,;$ si l’on différentie $q,$ en regardant ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ comme constant, et que l’on nomme $\mathrm {R} dx$ cette différence ; qu’en suite on différentie $q,$ en regardant ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ comme seule variable, et que l’on nomme $\mathrm {R} 'dx$ cette différence divisée par ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\,;$ cela posé, si $\mu =0$ est une solution particulière de l’ordre $n-1$ de l’équation proposée, $\mu$ est facteur commun aux deux quantités $q$ et $p+\mathrm {\frac {R}{R'}} \,;$ et réciproquement tout facteur de l’ordre $n-1$ commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution particulière de la proposée.

Il est aisé de conclure de ce qui précède que si, dans l’équation ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=p,\ p$ est rationnel par rapport à ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ cette équation ne peut avoir de solutions particulières de l’ordre $n-1.$

IX.

Examinons présentement les solutions particulières et sans différences de l’équation $d^{2}y=pdx^{2}.$ Je suppose que $\mu =0$ soit une de ces solutions ; en conservant les mêmes dénominations que dans l’article VII, on verra que, puisque $v-p$ s’évanouit par la supposition de $\mu =0,$ on aura

$v-p=\mu ^{n}{\frac {d^{i}\mu }{dx^{i}}}q+\mu ^{n'}{\frac {d^{i'}\mu }{dx^{i'}}}q'+\ldots \,;$

mais

$v=-{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial y^{2}}}{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x\partial y}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}.$