Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/357

que $\mu$ est facteur de cette quantité. Je suppose que de l’équation

${\frac {1}{dx{\cfrac {\partial p}{\partial ^{2}y}}}}=0,$

on tire par la différentiation

$d^{2}y=\gamma dx^{2}\,;$

$\mu$ sera facteur commun aux deux quantités $\gamma -p$ et ${\frac {1}{dx{\cfrac {\partial p}{\partial ^{2}y}}}}.$ De plus, tout facteur commun à ces deux quantités et qui renfermera ${\frac {dy}{dx}},$ égalé à zéro, sera une solution particulière de l’équation différentielle

$d^{2}y=pdx^{2}.$

Puisque

$\gamma ={\frac {-{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial ^{2}y}}-{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y\partial ^{2}y}}{\cfrac {dy}{dx}}}{dx{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial ^{2}y^{2}}}}},$

on aura le théorème suivant :

Théorème. – L’équation différentielle $d^{2}y=pdx^{2}$ étant donnée, si l’on différentie $p$ par rapport à ${\frac {dy}{dx}}$ seul, que l’on nomme ${\frac {1}{q}}$ cette différence divisée par ${\frac {d^{2}y}{dx}}\,;$ que l’on différentie $q$ en regardant ${\frac {dy}{dx}}$ comme constant ; soit $\mathrm {R} dx$ cette différence, et $\mathrm {R} 'dx$ la différence de $q$ prise en ne faisant varier que ${\frac {dy}{dx}},$ et divisée par ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\,;$ cela posé, si $\mu =0$ est une solution particulière du premier ordre de l’équation $d^{2}y=pdx^{2}\,;\ \mu$ sera facteur commun aux deux quantités $p+\mathrm {\frac {R}{R'}}$ et $q\,;$ et réciproquement, tout facteur du premier ordre, commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution particulière de la proposée. (Théorème analogue à celui de l’article VI, sur les équations différentielles du premier ordre.)

On peut généraliser ce théorème et l’étendre aux équations différentielles de tous les ordres.