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Or on distinguera aisément, parmi ces solutions, celles qui sont des intégrales particulières d’avec celles qui ne le sont pas.

Si l’intégrale complète aux premières différences de l’équation $d^{2}y=pdx^{2}$ est inconnue, on trouvera, de la manière suivante, toutes les solutions particulières aux premières différences de cette équation.

L’équation $d^{2}y=pdx^{2}$ peut recevoir, par l’article précédent, cette forme

$d\mu =\mu ^{n}qdx,$

$n$ étant moindre que l’unité. Partant, on aura

$p=-\mu ^{n}q{\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}{\cfrac {dy}{dx}}}{dx{\cfrac {d\mu }{d^{2}y}}}}\,;$

on peut toujours supposer au facteur $\mu$ cette forme ${\frac {dy}{dx}}-\mathrm {R} ,$ ce qui donne

$dx{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}=1,\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial x}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}},\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}.$

Donc

$p=-\mu ^{n}q-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-(\mathrm {R} +\mu ){\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\,;$

ce qui donne en substituant, dans $q,\ \mathrm {R} +\mu$ au lieu de ${\frac {dy}{dx}},$ et réduisant en une suite ascendante par rapport à $\mu ,$

$p=l+\mu ^{n}l'+\mu ^{n+n'}l''+\ldots ,$

$l,l',\ldots$ étant fonctions de $x$ et de $y\,;$ si l’on différentier cette équation par rapport à $dy,$ on aura

$dx{\frac {\partial p}{\partial ^{2}y}}=n\mu ^{n-1}l'+(n+n')^{n+n'-1}l''+\ldots .$

Or, puisque $n$ est moindre que l’unité, il est clair que $dx{\frac {\partial p}{\partial ^{2}y}}$ devient infini par la supposition de $\mu =0.$ Partant, ${\frac {1}{dx{\cfrac {\partial p}{\partial ^{2}y}}}}$ devient nul, en sorte