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servant la loi de ces différences, on verra facilement qu’elles ne peuvent s’évanouir toutes par la supposition de $\mu =0$ que dans le cas où $n$ est égal ou plus grand que l’unité ; l’équation $\mu =0$ n’est donc une intégrale particulière que dans ce cas ; autrement, elle n’est qu’une solution particulière, résultat analogue à celui que j’ai trouvé (art. IV) pour les équations différentielles du premier ordre.

VIII.

Problème IV. — Déterminer toutes les solutions particulières aux premières différences de l’équation différentielle $d^{2}y=pdx^{2}.$

Si l’on connaissait l’intégrale complète aux premières différences de cette équation, on pourrait trouver ainsi toutes ses solutions particulières aux premières différences. Soit ϐ le facteur par lequel il faut multiplier l’équation $d^{2}y=pdx^{2}$ pour la rendre intégrale, on aura

ϐ$\left({\frac {d^{2}y}{dx}}-pdx\right)=d\varphi \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right),$

et l’intégrale de l’équation $d^{2}y=pdx^{2}$ est

$\varphi \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)+\mathrm {C} =0.$

Présentement, je suppose que $\mu =0$ soit une solution particulière, $\mu$ étant fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}}\,;$ puisque cette solution ne peut faire évanouir $\varphi \left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)+\mathrm {C} ,$ quelque valeur que l’on donne à $\mathrm {C} ,$ elle ne fera pas évanouir la différence ${\text{ϐ}}\left({\frac {d^{2}y}{dx}}-pdx\right)\,;$ mais, par la supposition, elle fait évanouir ${\frac {d^{2}y}{dx}}-pdx\,;$ donc elle rend ϐ infini, c’est-à-dire qu’elle fait évanouir ${\frac {1}{\text{ϐ}}}.$ Je suppose que, en différenciant l’équation ${\frac {1}{\text{ϐ}}}=0,$ on ait ${\frac {d^{2}y}{dx}}=\gamma dx\,;$ l’équation $\mu =0$ fait évanouir $\gamma -p$ et ${\frac {1}{\text{ϐ}}}.$ Donc $\mu$ est facteur commun à ces deux quantités ; de plus, tout facteur commun à ces deux quantités est une solution de l’équation différentielle

$d^{2}y=pdx^{2}.$