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Si $\mu$ est fonction de $x$ seul, en considérant l’équation $dx={\frac {1}{p}}dy,$ on trouvera pareillement qu’il doit être facteur commun aux deux quantités ${\frac {1}{p}}$ et ${\frac {p^{2}}{\frac {\partial p}{\partial x}}},$ et, réciproquement, que tout facteur commun à ces deux quantités, qui sera fonction de $x$ seul, égalé à zéro, est une solution particulière de l’équation $dy=pdx.$

Examinons présentement les équations différentielles du second ordre.

VII.

Une équation différentielle du second ordre peut avoir pour solutions particulières des équations finies, ou des équations différentielles du premier ordre ; les unes et les autres peuvent également se déterminer par la méthode précédente.

Problème III. – Déterminer si une solution $\mu =0$ de l’équation différentielle $d^{2}y=pdx^{2}$ est une intégrale particulière, sans connaître l’intégrale générale, $\mu$ et $p$ étant fonctions de $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}},\ dx$ étant supposé constant.

En faisant usage de la méthode du problème I, on verra facilement que, si de l’équation $\mu =0$ on tire les valeurs de ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\ldots ,$ et qu’on les représente par $v,v',v'',\ldots \,;$ que, ensuite, on représente par $p',p'',\ldots$ les valeurs de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots$ tirées de l’équation

$d^{2}y=pdx^{2}\,;$

$v,v',v'',\ldots \,;p,p',p'',\ldots ,$ étant fonctions de $x,y$ et ${\frac {dy}{dx}},$ si $\mu =0$ est une intégrale particulière, non seulement la quantité $v-p,$ mais les suivantes $v'-p',\ v''-p'',\ldots$ doivent s’évanouir par la supposition de $\mu =0,$ et, si cela n’arrive pas, l’équation $\mu =0$ est une solution particulière.

Puisque $\mu =0$ donne $v-p=0,$ on aura $v-p=\mu ^{n}q,\ n$ étant po-