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d’où l’on aura

$p+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}}={\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\left(y^{2}-a^{2}-y{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\right)}{x\left(y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\right)}}.$

Il est aisé de voir que les deux quantités $p+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}}$ et ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}$ ont pour facteur commun ${\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}},$ et qu’elles n’ont que celui-là ; d’où il résulte : 1^o que l’équation $x^{2}+y^{2}-a^{2}=0$ est une solution particulière de l’équation différentielle proposée ; 2^o qu’elle est unique.

Le théorème précédent a généralement lieu toutes les fois que la solution particulière $\mu =0$ renferme $x$ et $y\,;$ mais il peut souffrir des exceptions, si $\mu$ est fonction de $x$ seul ou de $y$ seul. Voici comment on peut la déterminer dans ce cas. Je suppose d’abord $\mu$ fonction de $y$ seul. L’équation $\mu =0$ donnera $dy=0\,;$ donc, puisqu’elle rend nul $dy-pdx,$ elle donnera $p=0.$ Partant, on aura $p=\mu ^{n}h,\ h$ étant une fonction de $x$ et de $y,$ qui ne devient ni zéro ni infinie, en vertu de l’équation $\mu =0.$ Présentement, de ce que $\mu$ est fonction de $y$, on aura $y$ en fonction de $\mu \,;\ h$ deviendra ainsi fonction de $x$ et de $\mu$ et, en réduisant $p$ dans une suite ascendante par rapport à $\mu$ on aura

$p=\mu ^{n}l+\mu ^{n+n'}l'+\ldots ,$

$l,l',\ldots$ étant fonctions de $x\,;$ on aura donc

${\frac {\partial p}{\partial y}}=n\mu ^{n-1}l{\frac {\partial \mu }{\partial y}}+\ldots .$

Donc, puisque $n$ est moindre que l’unité, ${\frac {\partial p}{\partial y}}$ devient infini en vertu de l’équation $\mu =0$. Partant, ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}$ est nul : ainsi $\mu$ est facteur commun aux deux quantités $p$ et ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}\,;$ et, réciproquement, tout facteur commun à ces deux quantités qui sera fonction de $y$ seul, égalé à zéro, sera une solution particulière de l’équation $dy=pdx.$