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nouir leur différence $dy-pdx\,;$ et, puisqu’elle rend ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}$ nul, elle ne peut être une intégrale particulière. Il est aisé de voir que

ϐ$=-{\frac {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}},$

d’où résulte ce théorème :

Théorème. – Si $\mu =0$ est une solution particulière de l’équation différentielle $dy=pdx,s\ \mu$ est facteur commun aux deux quantités

$p+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}}\qquad$et$\qquad {\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}\,;$

et, réciproquement, tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution particulière de l’équation différentielle $dy=pdx.$

C’est le théorème que j’ai donné sans démonstration à la fin du Mémoire Sur la probabilité des causes par les événements (voir le VI^e Volume des Savants étrangers) ^[1]. Il en résulte une méthode fort simple pour trouver directement toutes les solutions particulières d’une équation différentielle, sans connaître son intégrale générale.

Je suppose, par exemple, que l’on ait l’équation différentielle

$dy={\frac {-xdx}{y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}}},$

on aura

$p={\frac {-x}{y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}}}$

et

${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}=-{\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\left(y-{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\right)}{x}}\,;$

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 61.