Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/350

ait cette forme $y-\mathrm {X,\ X}$ étant fonction de $x\,;$ on aura

${\frac {\partial \mu }{\partial y}}=1\qquad$et$\qquad -{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}.$

Si, dans la quantité $h,$ on substitue $\mathrm {X} +\mu$ au lieu de $y,$ et qu’on la développe dans une suite ascendante par rapport à $\mu ,$ en sorte que l’on ait

$h=l+\mu ^{n'}l'+\ldots ,$

$l,l',\ldots$ étant fonctions de $x$ seul, on aura

$p={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mu ^{n}l+\mu ^{n+n'}l'+\ldots \,;$

donc, en différenciant par rapport à $y,$ on aura

${\frac {\partial p}{\partial y}}=n\mu ^{n-1}l+(n+n')\mu ^{n+n'-1}l'+\ldots .$

Cette expression de ${\frac {\partial p}{\partial y}}$ devient infinie par la supposition de $\mu =0,$ car il est clair que, par cette supposition, le premier terme $n\mu ^{n-1}l$ devient infini et infiniment plus grand que les suivants. L’équation $\mu =0$ rend donc nulle la quantité ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}=0,$ ainsi $\mu$ est facteur de ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}.$ On prouverait, par le même procédé, qu’il est facteur de ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial x}}}.$ Pour trouver ce facteur, je différentie l’équation ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}=0,$ et je suppose qu’elle donne $dy={\text{ϐ}}dx.$ L’équation $\mu =0$ satisfera visiblement à cette équation différentielle ; mais elle satisfait à celle-ci, $dy=pdx\,;$ partant elle rendra nulle la quantité $p-{\text{ϐ}}\,;\ \mu$ sera donc facteur commun aux deux quantités ${\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}$ et $p-{\text{ϐ}}\,;$ de plus, il est visible que tout facteur commun à ces deux quantités est une solution particulière de l’équation différentielle $dy=pdx\,;$ car, $\mu$ étant ce facteur, l’équation $\mu =0$ fait évanouir les quantités $dy-{\text{ϐ}}dx$ et $pdx-{\text{ϐ}}dx\,;$ elle fera donc éva-