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${\frac {1}{\text{ϐ}}}$ et $\gamma -p.$ La détermination de ce facteur est du ressort de l’Analyse ordinaire ; tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à zéro, est une solution de l’équation $dy=pdx\,;$ car ce facteur, égalé à zéro, faisant évanouir les deux quantités $dy-\gamma dx$ et $\gamma dx-pdx$ doit faire évanouir leur somme $dy-pdx.$ On distinguera ensuite fort aisément si $\mu =0$ est ou n’est pas une intégrale particulière. Voilà donc un moyen assez simple pour trouver toutes les solutions particulières d’une équation différentielle dont on connaît l’intégrale complète.

Cette intégrale est, dans un très grand nombre de cas, indéterminable au moins par les méthodes connues ; on est donc obligé de recourir alors aux approximations, qui la donnent souvent avec une précision suffisante. Mais, comme il importe dans tous les cas d’avoir toutes les solutions particulières, et que la méthode précédente suppose l’intégrale exactement connue, il serait très intéressant d’avoir une méthode générale de les déterminer, entièrement indépendante de la connaissance de l’intégrale complète ; en voici une très simple, et d’un usage plus facile que la précédente, dans le cas même où l’intégrale complète est donnée.

Soit $\mu =0$ une solution particulière de l’équation différentielle $dy=pdx$ cette dernière équation est, par l’article IV, réductible à cette forme

$d\mu =\mu ^{n}hdx,$

$n$ étant moindre que l’unité. Or, $d\mu$ étant égal à ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mu }{\partial y}}dy,$ on aura

${\frac {\partial \mu }{\partial y}}dy=\mu ^{n}hdx-{\frac {\partial \mu }{\partial x}}dx.$

Mais

$dy=pdx\,;$

partant,

$p={\frac {\mu ^{n}h}{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}}.$

Je suppose maintenant, ce qui est toujours possible, que la quantité $\mu$