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Il y a des équations différentielles qui n’ont aucunes solutions particulières, et qui par leur forme excluent ce genre de solutions. Ainsi l’on peut assurer, en général, que l’équation $dy=pdx$ ne peut avoir de solutions particulières qui soient fonctions de $x$ et de $y,$ ou de $y$ seul, toutes les fois que $p,$ étant fonction de $x$ et de $y,$ est rationnel par rapport à $y\,;$ car ces solutions sont toujours réductibles à la forme

$y-\mathrm {X} =0,$

$\mathrm {X}$ étant fonction de $x$ et de constantes ; or il est aisé de voir que, si l’on fait $y-\mathrm {X} =\mu ,$ l’équation $dy=pdx$ se transformera, par ce qui précède, dans la suivante

${\frac {\partial \mu }{\partial x}}=\mu ^{n}q,$

$n$ étant nécessairement alors un nombre entier positif, égal ou plus grand que l’unité ; la même chose a lieu pour la variable $x$ donc, si $p$ est rationnel par rapport à $x$ et à $y$ à la fois, l’équation $dy=pdx$ ne peut avoir aucunes solutions particulières.

Déterminons présentement toutes les solutions particulières des équations différentielles du premier ordre.

VI.

Problème II. – L’équation différentielle $dy=pdx$ étant donnée, il faut en déterminer toutes les solutions particulières.

Je suppose d’abord que l’intégrale complète soit connue ; soit $\beta$ le facteur par lequel on doit multiplier $dy-pdx,$ pour rendre cette quantité une différence exacte, et $\mu =0$ une solution particulière de l’équation différentielle proposée ; on aura

${\text{ϐ}}dy-{\text{ϐ}}pdx=d\varphi (x,y)\,;$

mais, de ce que $\mu$ est fonction de $x$ et de $y,$ on aura

$y=\Gamma (x,\mu )\,;$

donc $d\varphi (x,y)$ deviendra $d\varphi '(x,\mu ).$ Partant $\psi (x,\mu )+\mathrm {C} =0$ est l’in-