Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/346

Partant, $n={\frac {1}{2}},$ d’où il résulte que l’équation $x^{2}+y^{2}-a^{2}=0$ n’est qu’une solution particulière.

V.

Je reprends l’équation $d\mu =\mu ^{n}hdx,$ et je réduis $\mu ^{n}h,$ dans une suite ascendante par rapport à $\mu \,;$ soit

$\mu ^{n}h=\mu ^{n}l+\mu ^{n'}l'+\ldots ,$

$l,l',\ldots$ étant fonctions de $x\,;$ que l’on différentie présentement cette expression de $\mu ^{n}h$ par rapport à $x$ seul, en regardant $\mu$ comme fonction de $x$ et de $y\,;$ elle deviendra, en divisant par $dx,$

$n\mu ^{n-1}l{\frac {\partial \mu }{\partial x}}+\mu ^{n}{\frac {\partial l}{\partial x}}+\ldots .$

Il est aisé de voir que cette quantité devient infinie par la supposition de $\mu =0,$ en supposant que $n$ est moindre que l’unité ; or

$\mu ^{n}h={\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {\partial \mu }{\partial x}}+{\frac {\partial \mu }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial \mu }{\partial x}}+p{\frac {\partial \mu }{\partial y}}.$

Partant, si l’équation $\mu =0$ est une solution particulière, elle doit rendre infinie la différence de ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}+p{\frac {\partial \mu }{\partial y}},$ prise en ne faisant varier que $x$ et divisée par $dx\,;$ d’où résulte ce théorème :

Théorème. – Si l’équation $\mu =0$ est une solution de l’équation différentielle $dy=pdx,$ elle sera une solution particulière, toutes les fois quelle rendra nulle la quantité

${\frac {1}{{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}+2p{\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {\partial \mu }{\partial y}}}}\,;$

autrement, elle sera une intégrale particulière.

Ce théorème suppose que $\mu$ est fonction des deux variables $x$ et $y\,;$ si l’on voulait en faire usage dans le cas où $\mu$ serait fonction de $x$ seul, ou de $y$ seul, il faudrait transformer les variables $x$ et $y$ en d’autres $x'$ et $y',$ telles que l’on ait, par exemple, $x=x'+y'$ et $y=x'-y'.$