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IV.

Soit, comme ci-dessus, $\mu =0$ une solution quelconque de l’équation $dy=pdx\,,$ elle donnera, par ce qui précède, $v-p=0\,;$ ces deux quantités $\mu$ et $v-p$ doivent conséquemment avoir un facteur commun, lequel sera la vraie solution de l’équation différentielle ; ainsi, je puis considérer $\mu$ comme étant ce facteur lui-même. J’observerai ici que, par facteur d’une quantité, j’entends toute fonction qui, égalée à zéro, la fait évanouir. Je conçois maintenant $\mu$ sous une forme telle que ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}$ et ${\frac {\partial \mu }{\partial y}}$ ne deviennent ni zéro, ni infinis par la supposition de $\mu =0\,;$ c’est ce qui aura toujours lieu, si les facteurs de $\mu$ n’y sont point élevés à d’autres puissances que l’unité ; je suppose, en effet, que toutes les valeurs qui satisfont pour $y$ dans l’équation $\mu =0\,;$ soient $y=\mathrm {M} ,\ y=\mathrm {M} ',y=\mathrm {M} '',\ldots ,$$\mathrm {M,M',M''} ,\ldots$ étant des fonctions différentes de $x,$ et que l’on ait

$\mu =(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots .$

Partant,

${\frac {\partial \mu }{\partial y}}=(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots +(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} '')\ldots +(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} ')\ldots +\ldots$

et

$-{\frac {\partial \mu }{\partial x}}={\frac {d\mathrm {M} }{dx}}(y-\mathrm {M} ')(y-\mathrm {M} '')\ldots +{\frac {d\mathrm {M} '}{dx}}(y-\mathrm {M} )(y-\mathrm {M} '')\ldots +\ldots .$

Or il est aisé de voir, cela posé, qu’aucune des équations $y-\mathrm {M} =0,$$y-\mathrm {M} '=0,\ldots$ ne peut rendre infinies ou nulles les quantités ${\frac {\partial \mu }{\partial y}}$ et ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}.$

Maintenant, soit $n$ l’exposant de la puissance à laquelle le facteur $\mu$ est élevé dans la quantité $v-p,$ en sorte que l’on ait

$v-p=\mu ^{n}q,$

$q$ ne devenant ni infini, ni zéro, par la supposition de $\mu =0,$ et $n$ étant