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tant fini, lorsqu’on y fait $y=0\,;$ si $n$ est positif et moindre que l’unité, l’équation $y=0$ n’est qu’une solution particulière.

Il pourrait arriver cependant que $p,$ au lieu d’être réductible à cette forme $y^{n}q,$ le fût à celle-ci, ${\frac {q}{(\operatorname {l} .y)^{r}}},\ r$ étant positif ; la supposition de $y=0$ satisferait à l’équation $dy=pdx,$ parce que, en faisant $y=0,\ {\frac {1}{(\operatorname {l} .y)^{r}}}$ devient nul, le logarithme de zéro étant infini. Mais l’équation $y=0$ n’est alors qu’une solution particulière, parce que $(\operatorname {l} .y)^{r}$ est toujours infiniment moindre que ${\frac {1}{y^{n}}},$ quelque grand que soit $r,$ et quelque petit que soit $n,$ lorsque $y=0\,;$ ce cas rentre donc dans celui où $n$ est moindre que l’unité.

On peut concevoir encore que $p$ est réductible à cette forme $e^{-{\frac {1}{y}}}q,\ e$ étant plus grand que l’unité ; car l’équation $y=0$ satisfait alors à celle-ci

${\frac {dy}{dx}}=qe^{-{\frac {1}{y}}}\,;$

mais $y=0$ est, dans ce cas, une intégrale particulière, parce que $e^{\frac {1}{y}}$ est infiniment plus grand que ${\frac {1}{y^{n}}},$ quelque considérable que l’on suppose $n\,;$ ce cas rentre donc dans celui où $n$ est plus grand que l’unité. On prouvera de la même manière que, quelle que soit la forme de $p,$ l’équation différentielle se rapportera toujours au cas de $n$ égal ou plus grand que l’unité, ou à celui de $n$ moindre que l’unité^[1].

Comme on a, dans le cas particulier où $y=0$ est une solution de l’équation différentielle, un moyen fort simple pour reconnaître si cette solution est en même temps une intégrale particulière, je vais chercher à y ramener le cas général où la solution est une équation quelconque entre $x$ et $y.$

1. Cette addition en petits caractères, ainsi que celle de la page 361, onl été publiées par Laplace postérieurement à l’impression du Mémoire, mais dans le même volume des Mémoires pour 1772, I^re Partie, p. 651. On a cru devoir les placer aux endroits indiqués par Laplace lui-même.
   (Note de l’Éditeur.)