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III.

Si l’équation $y=0$ était une intégrale particulière, on aurait

$v=0,\qquad v'=0,\qquad v''=0,\qquad \ldots \,;$

il faudrait donc que l’équation $y=0$ rendît nulles les quantités $p,p',p'',\ldots$ ou, ce qui revient au même, les valeurs de ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\ldots ,$ tirées de l’équation $dy=pdxs\,;$ voyons quelle doit être pour cela la nature de $p\,:$ je suppose qu’on le réduise dans une suite ascendante par rapport à $y,$ on aura

$p=fy^{n}+f'y^{n'}+f''y^{n''}+\ldots ,$

$f,f',f'',\ldots$ étant fonctions de $x,$ et $n$ étant nécessairement positif ; on peut donc mettre $p$ sous cette forme $y^{n}q,\ q$ ne devenant ni infini, ni zéro, en vertu de l’équation $y=0\,;$ présentement, que l’on différentie l’expression précédente de $p$ réduit en séries, on aura

${\frac {dp}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dy}{dx}}\left(nfy^{n-1}+n'f'y^{n'-1}+\ldots \right)+y^{n}{\frac {df}{dx}}+y^{n'}{\frac {df'}{dx}}+\ldots .$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\frac {dy}{dx}},$ sa valeur $fy^{n}+f'y^{n'}+\ldots ,$ on aura

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=nf^{2}y^{2n-1}+(n+n')ff'y^{n+n'-1}+\ldots +y^{n}{\frac {df}{dx}}+\ldots .$

On trouvera pareillement

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=n(2n-1)f^{3}y^{3n-2}+\ldots ,$

et ainsi de suite ; or il est aisé de voir, en examinant la loi de ces différences, qu’elles ne peuvent s’évanouir toutes par la supposition de $y=0$ que dans le cas où $n$ est égal ou plus grand que l’unité ; d’où il suit que si l’équation $y=0$ est une intégrale particulière de l’équation différentielle $dy=pdx,\ p$ est réductible à cette forme $y^{n}q,\ n$ étant nécessairement positif, égal ou plus grand que l’unité, et $q$ res-