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point les mêmes équations, parce que la constante arbitraire de l’équation $\varphi =0,$ n’entre point dans les valeurs de ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots \,;$ de là il suit que les équations précédentes doivent avoir lieu en même temps que celle-ci $\mu =0,$ quelle que soit $x,$ pour que cette dernière équation soit une intégrale particulière. On peut donc ainsi déterminer si l’équation $\mu =0$ est comprise ou non dans celle-ci, $\varphi =0\,;$ elle y sera comprise, si elle satisfait aux équations

${\frac {\partial y}{\partial x}}={\frac {dy}{dx}},\qquad {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\qquad \ldots .$

autrement, elle ne sera qu’une solution particulière. Or on peut s’assurer si ces équations peuvent être satisfaites, sans connaître l’intégrale générale $\varphi =0\,;$ car, de l’équation $\mu ,=0,$ il est facile de conclure les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}},\ldots \,;$ je les représente par $v,v',v'',\ldots .$ De plus, l’équation différentielle $dy=pdx,$ donne ${\frac {dy}{dx}}=p\,;$ partant,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial p}{\partial x}}+p{\frac {\partial p}{\partial y}}.$

Soit $p'$ cette quantité (par ${\frac {dp}{dx}}$ j’entends la différence entière de $p,$ divisée par $dx,$ et par ${\frac {\partial p}{\partial x}}$ j’entends le coefficient de $dx,$ dans la différence de $p\,;$ il en est de même de toutes les expressions semblables) ; il est facile d’avoir, par un pareil procédé, les valeurs de ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots \,;$ soient $p'',p''',\ldots$ ces valeurs ; les équations précédentes deviendront

$v-p=0,\qquad v'-p'=0,\qquad v''-p''=0,\qquad \ldots .$

La première de ces équations a nécessairement lieu, puisque l’équation $\mu =0$ satisfait à l’équation différentielle $dy=pdx\,;$ ainsi, ce ne peut être que dans les suivantes que l’on peut apercevoir si la solution $\mu =0$ est ou n’est pas une intégrale particulière.