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$\mathrm {HCM}$ et $\mathrm {LCN}$ (fig. 1), sur le même axe $\mathrm {AB}$ des abscisses dont l’origine soit fixée au point $\mathrm {A} ,$ et que l’on détermine la constante arbitraire de l’équation $\varphi =0,$ par cette condition que la courbe $\mathrm {LCN}$ passe par un point donné $\mathrm {C}$ de la courbe $\mathrm {HCM}$, il est visible que si l’équation $\mu =0$ est comprise dans celle-ci, $\varphi =0,$ les deux courbes $\mathrm {LCN}$ et $\mathrm {HCM}$ doivent coïncider dans tous leurs points ; si cela n’est pas, l’équation $\mu =0$ est une solution particulière.

Fig. 1.

Si l’on prend maintenant, dans les deux courbes, deux ordonnées quelconques $\mathrm {PM}$ et $\mathrm {PN}$ répondantes à la même abscisse $\mathrm {AP} ,$ et que l’on fasse $\mathrm {BP} =\alpha ,\ \mathrm {AB} =x,\ \mathrm {CB} =y,\ \mathrm {PM} =y',$ et $\mathrm {PN=Y'} \,;$ marquant d’ailleurs par la caractéristique $\delta$ les différences dans la courbe $\mathrm {HCM}$, par la caractéristique $d$ les différences dans la courbe $\mathrm {LCN}$, et supposant $dx$ et $\delta x$ constants, on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}y'=&y+{\frac {\alpha \partial y}{\partial x}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}+\ldots ,\\\mathrm {Y} '=&y+{\frac {\alpha dy}{dx}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Or, afin que les deux courbes coïncident dans tous leurs points, il faut que l’on ait constamment $y'=\mathrm {Y} ',r$ quel que soit $\alpha ,$ ce qui ne peut être, à moins que l’on n’ait, au point $\mathrm {C}$,

${\frac {\partial y}{\partial x}}={\frac {dy}{dx}},\qquad {\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{3}y}{\partial x^{3}}}={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\qquad \ldots .$

J’observe présentement que si, au lieu du point $\mathrm {C} ,$ on eût pris sur la courbe $\mathrm {HCM}$ un autre point quelconque $\mathrm {C} ',$ on aurait eu pour ce