étant des constantes arbitraires, et
étant des intégrales particulières de l’équation (ϐ) ; que l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\overline {u}}=&u\Delta \left({\frac {'\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {'\!u}}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {\overline {u}}}}=&{\overline {\overline {u}}}\Delta \left({\frac {\overline {\overline {'\!u}}}{u}}\right),\\{\overline {'\!u}}=&u\Delta \left({\frac {''\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {'\!u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {''\!u}}{u}}\right),\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\overline {''\!u}}=&u\Delta \left({\frac {'''\!u}{u}}\right),\qquad &{\overline {\overline {''\!u}}}=&{\overline {u}}\Delta \left({\frac {\overline {'''\!u}}{u}}\right),\qquad &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8551115f504073c64d94bdfd8d852fe3886038e)
jusqu’à ce que l’on parvienne ainsi à former
soit maintenant
et concevons que dans
on change
en
et réciproquement, on formera
si dans la même expression on change
en
et réciproquement, on formera
je dis que l’intégrale complète de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} _{x}=y_{x}+'\!\mathrm {H} _{x}y_{x+1}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870d80d652e8a95e3cbdc5e207f046733241a62e)
sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x}&=u\left(\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{z}}\right),\\&+'\!u\left('\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{'\!z}}\right),\\&+''\!u\left(''\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{''\!z}}\right),\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&+^{n-1}\!u\left(^{n-1}\!\mathrm {A} \pm \sum {\frac {\mathrm {X} _{x}}{^{n-1}\!z}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787bd9e681d417d8c60e3d71126abd88baec59e4)
le signe
ayant lieu si
est impair, et le signe
s’il est pair ; on doit observer ici que la caractéristique
sert à désigner la différence finie, et la caractéristique
l’intégrale finie.
Pour donner une application du premier théorème, considérons l’équation que M. de la Grange intègre dans le IIIe Volume des Mémoires de Turin, page 190, laquelle est de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {X} =y+\mathrm {A} (h+\mathrm {K} x){\frac {dy}{dx}}+\mathrm {B} (h+\mathrm {K} x)^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\mathrm {D} (h+\mathrm {K} x)^{3}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cdb47e42d1601fc75fde8a5735a23eb060f460)
![{\displaystyle +\mathrm {V} (h+\mathrm {K} x)^{n}{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2449d3bc4502cafbc903479ce9b2c2ca659435)
étant des coefficients constants.