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satisfait visiblement à cette équation différentielle, sans être cependant comprise dans l’intégrale générale

$y+\mathrm {C} ={\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}},$

puisque, de quelque manière que l’on détermine la constante arbitraire $\mathrm {C} ,$ il est impossible d’en conclure

$x^{2}+y^{2}=a^{2}.$

Présentement, tous les problèmes que l’on peut se proposer sur ce genre de solutions se réduisent aux deux suivants :

Étant donnée une équation différentielle d’un ordre quelconque, d’un nombre quelconque de variables, et dont on ne connaît point l’intégrale complète :

1^o Déterminer si une équation d’un ordre inférieur qui y satisfait est comprise ou non dans son intégrale générale ;

2^o Déterminer toutes les solutions particulières de cette équation différentielle.

Voici pour les résoudre une méthode fort simple, et qui n’est restreinte ni par l’ordre de l’équation différentielle, ni par le nombre des variables. Je supposerai d’abord qu’il n’y en a que deux, et que l’équation est différentielle du premier ordre. Je la représenterai conséquemment par celle-ci

$dy=pdx,$

$p$ étant fonction de $x$ et de $y.$ Cela posé :

II.

Problème I. – Déterminer si une solution donnée de l’équation différentielle $dy=pdx$ est comprise ou non dans son intégrale générale, sans connaître cette intégrale.

Soit $\mu =0$ la solution donnée de l’équation différentielle dont je supposerai l’intégrale complète exprimée par l’équation $\varphi =0.$ Si l’on construit, au moyen de deux équations, $\mu =0$ et $\varphi =0,$ deux courbes