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leurs que la solution est sous cette forme, $y=\mathrm {X,\ X}$ étant fonction de $x\,;$ ce qui la rend souvent impraticable.

Puisqu’il peut exister des équations qui satisfont à une équation différentielle, sans être comprises dans son intégrale générale, on ne peut se flatter d’avoir, par la seule intégration, la résolution complète des problèmes qui en dépendent ; il est de plus essentiel d’avoir égard à toutes les solutions particulières, et de les déterminer. Une théorie de ce genre de solutions importe conséquemment au progrès de l’Analyse infinitésimale, et doit être regardée comme un supplément nécessaire au Calcul intégral. Ces considérations m’ont fait entreprendre les recherches suivantes sur cette matière.

I.

J’appellerai solution d’une équation différentielle d’un degré quelconque toute équation d’un degré inférieur qui satisfera à cette équation différentielle ; intégrale particulière, toute solution qui se trouvera de plus comprise dans l’intégrale générale ; et solution particulière, toute solution qui n’y est pas comprise.

Si l’on a l’équation différentielle

$\mu \mathrm {M} dx+\mu \mathrm {N} dy=0,$

il est visible qu’elle deviendra nulle par la supposition de $\mu =0,$ en sorte que l’on pourrait considérer cette dernière équation comme une solution de l’équation différentielle ; mais il ne sera point ici question de ce genre de solutions, qu’il est très facile d’ailleurs de déterminer ; nous considérerons celles qui satisfont à l’équation différentielle proprement dite, c’est-à-dire à l’équation mise sous cette forme

$dy=pdx.$

Il est aisé de prouver l’existence des solutions particulières, en considérant l’équation différentielle

$ydy+xdx=dy{\sqrt {x^{2}+y^{2}-a^{2}}}\,;$

car l’équation

$x^{2}+y^{2}-a^{2}=0,$