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pourvu que, dans le second membre de cette équation, on applique à la caractéristique $\Delta$ les exposants des puissances, et qu’on change les différences négatives en intégrales.

XIII.

Reprenons l’équation

$e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }-1=\Delta u$

ou

$e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }=1+\Delta u\,;$

M. de Lagrange en conclut, en vertu de l’analogie des puissances et des différences,

$e^{{\frac {du}{dx}}\alpha '}=(1+\Delta u)^{\frac {\alpha '}{\alpha }}\,;$

or $e^{{\frac {du}{dx}}\alpha '}$ représente ici l’unité, plus la différence finie de $u,$ lorsqu’on y suppose $x$ devenir $x+\alpha '\,;$ cette équation renferme la théorie générale des interpolations, et elle est facile à démontrer par ce qui précède ; car, puisqu’on a

${\begin{aligned}\alpha \ {\frac {du}{dx}}\ =&\Delta u+f\Delta ^{2}u+\ldots ,\\\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&\Delta ^{2}u+\sideset {^{1}}{}f\Delta ^{3}u+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}\alpha '\ {\frac {du}{dx}}\ =&{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta u+f{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta ^{2}u+\ldots ,\\\alpha '^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=&{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{2}u+{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}\sideset {^{1}}{}f\Delta ^{3}u+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Donc, nommant $\sideset {^{1}}{}\Delta u$ la différence finie de $u,$ lorsqu’on y suppose $x$ devenir $x+\alpha ',$ on aura

$1+\sideset {^{1}}{}\Delta u=1+\alpha '{\frac {du}{dx}}+\ldots$

$=1+{\frac {\alpha '}{\alpha }}\Delta u+\Delta ^{2}u\left(g{\frac {\alpha '^{2}}{\alpha ^{2}}}+g'{\frac {\alpha '}{\alpha }}+g''\right)+\ldots ,$

$g,g',\ldots$ étant des coefficients constants et indépendants de $\alpha$ et de $\alpha '.$