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d’où l’on voit que $\alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}$ sera donné par une équation de cette forme

$(c)\qquad \qquad \alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}=\Delta ^{n}u+s\Delta ^{n+1}u+s'\Delta ^{n+2}u+\ldots .$

L’équation $(b)$ donne pareillement

$(d)\qquad \qquad {\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}=\Sigma ^{n}u+f\Sigma ^{n-1}u+f'\Sigma ^{n-2}u+\ldots ,$

$s,s',\ldots ,f,f',\ldots$ étant des coefficients constants et indépendants de $\alpha .$ Soit donc $u=e^{x}\,;$ l’équation $(c)$ donnera

$\alpha ^{n}=e^{\alpha }-1+s\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}+s'\left(e^{\alpha }-1\right)^{3}+\ldots \,;$

or on a

$\alpha ^{n}=\left[\operatorname {l} \left(1+e^{\alpha }-1\right)\right]^{n}\,;$

donc, si l’on développe le second membre de cette équation par rapport aux puissance de $e^{\alpha }-1,$ il donnera

$e^{\alpha }-1+s\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}+\ldots \,;$

partant, l’équation $(c)$ est la même que celle-ci,

$\alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}=\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n},$

pourvu que, dans le développement du second membre, on applique les exposants à la caractéristique $\Delta .$

L’équation $(d)$ donne, en faisant $u=e^{x},$

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}={\frac {1}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}+{\frac {f}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n-1}}}+\ldots \,;$

or

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}={\frac {1}{\left[\operatorname {l} \left(1+e^{\alpha }-1\right)\right]^{n}}}\,;$

d’où il est facile de conclure

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}={\frac {1}{\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n}}},$