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Je suppose, dans les équations $(a)$ et $(b),\ u=e^{x},$ ce qui donne

$u={\frac {du}{dx}}={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\ldots =\int udx=\int ^{2}udx^{2}=\ldots$

et

$\Delta u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right),\qquad \Delta ^{2}u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right)^{2},$

et généralement

$\Delta ^{n}u=e^{x}\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}\,;$

ensuite

$\Sigma u={\frac {e^{x}}{e^{\alpha }-1}},\qquad \Sigma ^{2}u={\frac {e^{x}}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}}},$

et généralement

$\Sigma ^{n}={\frac {e^{x}}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}\,;$

cela posé, les équations $(a)$ et $(b)$ donneront : la première

$\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}=\alpha ^{n}+q\alpha ^{n+1}+\ldots ,$

la seconde

${\frac {1}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}={\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {r}{\alpha ^{n-1}}}+\ldots \,;$

donc on aura

$\Delta ^{n}u=\left(e^{\alpha {\frac {du}{dx}}}-1\right)^{n}$

et

$\Sigma ^{n}u={\frac {1}{\left(e^{\alpha {\frac {du}{dx}}}-1\right)^{n}}}\,;$

pourvu que, en développant les seconds membres de ces équations, on applique les exposants des puissances à la caractéristique $d,$ et qu’on change les différences négatives en sommes.

L’équation $(a)$ donne

${\begin{aligned}\Delta ^{n}u\quad =&\alpha ^{n}\ \ \ {\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\quad +\alpha ^{n+1}.q{\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}+\ldots ,\\\Delta ^{n+1}u=&\alpha ^{n+1}{\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}+\alpha ^{n+2}.q{\frac {d^{n+2}u}{dx^{n+2}}}+\ldots ,\\\Delta ^{n+2}u=&\alpha ^{n+2}{\frac {d^{n+2}u}{dx^{n+2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$