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En suivant ce procédé, on aura généralement

$(a)\qquad \qquad \Delta ^{n}u=\alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}+q\alpha ^{n+1}{\frac {d^{n+1}u}{dx^{n+1}}}+q'\alpha ^{n+2}{\frac {d^{n+2}u}{dx^{n+2}}}+\ldots .$

L’équation $(\sigma )$ donne

$u=\alpha \sum {\frac {du}{dx}}+h\alpha ^{2}\sum {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\ldots .$

Soit ${\frac {du}{dx}}=z,$ on aura

$\sum z={\frac {1}{\alpha }}\int zdx-h\alpha \sum {\frac {dz}{dx}}-\ldots \,;$

on aura pareillement

$\sum {\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {1}{\alpha }}z-h\alpha \sum {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-\ldots ,$

et ainsi de suite ; d’où je tire

$\sum z={\frac {1}{\alpha }}\int zdx-mz-\alpha m'{\frac {dz}{dx}}-\ldots .$

On aura pareillement

$\sum ^{2}z={\frac {1}{\alpha }}\sum \int zdx-m\sum z-\alpha m'\sum {\frac {dz}{dx}}-\ldots .$

Or

$\sum \int zdx={\frac {1}{\alpha }}\int ^{2}zdx^{2}-m\int zdx-\ldots ,$

d’où l’on voit que $\sum ^{2}z$ a une expression de cette forme

$\sum ^{2}z={\frac {1}{\alpha ^{2}}}\int ^{2}zdx^{2}+{\frac {\mathrm {K} }{\alpha }}\int zdx+\mathrm {K} 'z+\mathrm {K} ''\alpha {\frac {dz}{dx}}+\ldots \,;$

en suivant ce procédé, on conclura généralement

$(b)\quad \sum ^{n}u={\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}+{\frac {r}{\alpha ^{n-1}}}\int ^{n-1}udx^{n-1}$

$+{\frac {r'}{\alpha ^{n-2}}}\int ^{n-2}udx^{n-2}+\ldots \,;$

$r,r',\ldots$ étant des coefficients constants et indépendants de $\alpha .$