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on aura

(5)

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}={\frac {1}{\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n}}},$

en observant dans le développement du second membre de cette équation d’appliquer les exposants des puissances de $\Delta u$ à la caractéristique $\Delta ,$ et de changer en intégrales finies les différences finies négatives.

XII.

Voici maintenant une méthode directe pour trouver ces théorèmes.

Je représente par $u'$ la quantité $u,$ lorsqu’on y suppose $x$ devenir $x+\alpha .$ Soit $u'=u+s,$ on aura, en différenciant par rapport à $\alpha ,$

${\frac {\partial u'}{\partial x}}={\frac {\partial s}{\partial \alpha }}\,;$

donc

$s=\int d\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}$

et

$u'=u+\int d\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}\,;$

on aura pareillement

${\frac {\partial u'}{\partial x}}={\frac {du}{dx}}+\int d\alpha {\frac {\partial ^{2}u'}{\partial x^{2}}},$

et ainsi de suite ; d’où l’on tire

$u'=u+\alpha {\frac {du}{dx}}+h\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+h'\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots$

et

$(\sigma )\qquad \qquad \qquad \Delta u=\alpha {\frac {du}{dx}}+h\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+h'\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,$

$h,h',\ldots$ étant des coefficients constants et indépendants de $\alpha .$ On aura pareillement

$\Delta u'-\Delta u=\Delta ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial u'}{\partial x}}-{\frac {du}{dx}}\right)+h\alpha ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u'}{\partial x^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)+\ldots \,;$

d’où je conclus

$\Delta ^{2}u=\alpha ^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+p\alpha ^{3}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots .$