Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/327

perbolique est l’unité. De l’équation (1) M. de Lagrange conclut, en vertu de l’analogie entre les puissances positives et les différences,

(2)

$\Delta ^{n}u=\left(e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }-1\right)^{n}\,;$

et supposant $n$ négatif et changeant $\Delta ^{-n}$ en $\Sigma ^{n}u,$ il conclut, en vertu de l’analogie entre les puissances négatives et les intégrales,

(3)

$\Sigma ^{n}u={\frac {1}{\left(e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }-1\right)^{n}}}\,;$

en observant toujours d’appliquer les exposants à la caractéristique $d,$ et de changer les différences négatives en intégrales ; c’est-à-dire, au lieu de $d^{-1}udx,$ d’écrire $\int udx,$ et ainsi du reste.

Au moyen des équations (2) et (3), on aura donc la différence finie $n$^ième, et l’intégrale finie $n$^ième de $u,$ en fonction de ses intégrales et de ses différences infiniment petites.

Présentement l’équation (1) donne

$e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }=1+\Delta u\,;$

donc, en prenant les logarithmes,

${\frac {du}{dx}}\alpha =\operatorname {l} (1+\Delta u)\,;$

d’où, en vertu de l’analogie des puissances positives et des différences, on aura

(4)

${\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}\alpha ^{n}=\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n},$

en observant dans le développement du second membre de cette équation d’appliquer à $\Delta$ les exposants des puissances de $u.$ Si l’on fait $n$ négatif dans l’équation (4), et que l’on change

$d^{-n}udx^{n}\quad$en$\quad \int ^{n}udx^{n},$