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XI.

Sur les fonctions.

M. de Lagrange a donné, dans le Volume de l’Académie de Berlin pour l’année 1772, un très beau Mémoire sur l’analogie qui règne entre les puissances positives et les différences, aussi bien qu’entre les puissances négatives et les intégrales. (Voir, dans le Volume cité, un Mémoire qui a pour titre : Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à l’intégration et à la différentiation des quantités variables.) En suivant cette analogie, il est parvenu à plusieurs théorèmes fort intéressants sur les fonctions ; mais, comme cette voie est indirecte, et que d’ailleurs ce grand géomètre semble regarder comme difficile la démonstration directe de ces théorèmes, je vais ici les démontrer par une méthode assez simple, et qui, de plus, a l’avantage de faire voir pourquoi l’analogie des puissances et des sommes ou des différences a lieu.

Pour simplifier le calcul, je ne considérerai qu’une seule variable ; il est facile d’étendre les recherches suivantes à tant de variables que l’on voudra. Soit donc $u$ une fonction quelconque de $x$ : on peut chercher l’intégrale ou la différence finie n^ième de $u,\,;$ en fonction des intégrales et des différences infiniment petites de cette quantité on peut chercher l’intégrale ou la différence infiniment petite n^ième de $u$ en fonction de ses intégrales et de ses différences finies ; or voici comme M. de Lagrange résout ces deux problèmes.

En désignant par les caractéristiques $\Delta$ et $\Sigma$ les différences et les intégrales finies, et supposant $x$ croître de $\alpha$ dans $u,$ cet illustre auteur trouve d’une manière directe et fort élégante l’équation

(1)

$\Delta u=e^{{\frac {du}{dx}}\alpha }-1\,;$

en observant dans le développement du second membre d’appliquer les exposants à la caractéristique $d\,;$ c’est-à-dire au lieu de $\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2},$ d’écrire ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}},$ et ainsi de suite ; $e$ est le nombre dont le logarithme hy-