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dans ce cas l’équation $(y)$ donne

$0=2(1-\mu )+{\frac {2}{3}}\mu \qquad$ou$\qquad \mu ={\frac {3}{2}},$

mais cette valeur doit être rejetée par la nature du problème, puisque le terme $gx^{\mu }$ deviendrait imaginaire lorsque $x$ serait négatif ;

2^o La valeur de $\mu$ peut être telle que

$(-1)^{2\mu +1}=-(1)^{2\mu +1}\,;$

dans ce cas, l’équation $(y)$ donne

${\frac {2}{2\mu +1}}-2(1-\mu )-{\frac {2}{3}}\mu =0\,;$

d’où l’on tire $\mu ^{2}-\mu =0\,;$ partant $\mu =0$ et $\mu =1\,;$ d’où il suit que l’expression de $y$ ne peut avoir que cette forme

$y=a+bx+cx^{r}+fx^{s}+\ldots ,$

$r,s,\ldots$ étant moindres que l’unité ; or, en substituant cette valeur dans l’équation (Z), il est visible que l’équation

$y=cx^{r}+fx^{s}+\ldots$

y satisfera séparément ; d’où il suit, par l’analyse précédente, que $r$ étant supposé le plus grand des exposants $r,s,\ldots$ ne peut être que $0$ ou $1\,;$ donc, toutes les fois que la valeur de $y$ peut être exprimée par un nombre fini de termes, elle ne peut avoir que cette forme $y=a+bx\,;$ maintenant il est aisé de voir que, dans ce cas, la figure du corps doit être sphérique ; car on a (fig. 5), $y=0$ lorsque $x=1$ et lorsque $x=-1\ ;$ d’où l’on tire

$a+b=0\qquad$et$\qquad a-b=0\,;\qquad$partant$\qquad y=0.$

Je dois observer ici que M. d’Alembert a déjà fait une remarque semblable pour le cas où les exposants de $x$ sont des nombres entiers et positifs (voir le Tome V des Opuscules de ce grand géomètre).

Il serait utile d’étendre ces recherches au cas où les couches de la masse fluide sont inégalement denses ; c’est ce que je me propose de faire dans un autre Mémoire.