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le signe $+$ ayant lieu si $n$ est impair et le signe $-$ s’il est pair ; de là on aura, en intégrant,

$\int _{0}^{\pi }2^{2n-1}\sin ^{2n-1}q\cos q{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {-1}}}\left(\cos 2nq+{\sqrt {-1}}\sin 2nq\right)dq=-{\frac {1}{2}}\pi \,;$

partant

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\sin \varphi }}{\frac {2^{2n}d^{2n}y}{1.2.3\ldots 2ndx^{2n}}}$

$\times \sin ^{4n+1}p\sin ^{2n-1}q\cos q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{2n}dpdq$

$=-\pi {\frac {\mu (\mu -1)\ldots (\mu -2n+1)}{1.2.3\ldots 2n}}x^{2n-1}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4n+1}pdq\,;$

on trouvera, de même,

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\sin \varphi }}{\frac {2^{2n+1}d^{2n+1}y}{1.2.3\ldots (2n+1)dx^{2n+1}}}$

$\times \sin ^{4n+3}p\sin ^{2n}q\cos q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{2n+1}dpdq$

$={\frac {\pi \mu (\mu -1)\ldots (\mu -2n)}{1.2.3\ldots (2n+1)}}x^{2n}\int _{0}^{\pi }\sin ^{4n+3}pdp.$

L’équation $(\Lambda )$ devient ainsi

$0=\int _{0}^{\pi }\sin p\left[{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}\sin ^{4}p-{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{1.2.3}}\sin ^{6}p+\ldots \right]dp,$

ce qui donne

${\begin{aligned}0=&\int _{0}^{\pi }\sin p\left(1-\sin ^{2}p\right)dp-\int _{0}^{\pi }\sin p\left(1-\mu \sin ^{2}p\right)dp\\=&\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2\mu }p-(1-\mu )dp\int _{0}^{\pi }\sin pdp-\mu \int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2}pdp\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en intégrant,

$(y)\qquad 0=\mathrm {C} -{\frac {1}{2\mu +1}}\cos ^{2\mu +1}Ap+(1-\mu )\cos p+{\frac {1}{3}}\mu \cos ^{3}p.$

Il faut déterminer la constante arbitraire $\mathrm {C}$ de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $\cos p=1,$ et faire ensuite, dans l’équation $(y),\ \cos p=-1\,;$ or il peut arriver deux cas :

1^o La valeur de $\mu$ peut être telle que

$(-1)^{2\mu +1}=(1)^{2\mu +1},$