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de là on tirera

${\begin{aligned}r&=2\sin p\sin q+2\alpha {\frac {d\mu }{d\varphi }}\sin \varphi \sin p\cos q\\&+2\alpha \mu \sin \varphi \sin p\sin q+2\alpha \mu \cos \varphi \sin p\cos q\\&+{\frac {\alpha \Pi \left[\cos \varphi +2\sin ^{2}p\sin q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )\right]-\alpha \Pi (\cos \varphi )}{\sin p\sin q}}\,;\end{aligned}}$

partant on aura

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}p\cos q\left[2\sin p\sin q+2\alpha {\frac {d\mu }{d\varphi }}\sin \varphi \sin p\cos q\right.\\&+2\alpha \mu \sin \varphi \sin p\sin q+2\alpha \mu \cos \varphi \sin p\cos q\\&+\left.{\frac {\alpha \Pi \left[\cos \varphi +2\sin ^{2}p\sin q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )\right]-\alpha \Pi (\cos \varphi )}{\sin p\sin q}}\right]dpdq\\&=\alpha h\sin \varphi \cos \varphi .\end{aligned}}$

Mais, on a généralement

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\mathrm {P} \cos qdpdq=0$

en supposant que $\cos q$ ne se trouve point, dans $\mathrm {P} ,$ élevé à une puissance impaire ; car, dans cette supposition, il est visible que l’élément $\mathrm {P} dq$ sera le même pour deux valeurs de $q$ prises à égale distance de part et d’autre de ${\frac {\pi }{2}}\,;$ mais $\cos q$ sera le même dans les deux cas, avec des signes contraires ; d’où l’on voit que la somme des deux éléments $\mathrm {P} \cos qdq,$ correspondants l’un à $q={\frac {\pi }{2}}-\alpha ,$ l’autre à $q={\frac {\pi }{2}}+\alpha ,$ sera nulle, et qu’ainsi

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\mathrm {P} \cos qdpdq=0\,;$

l’équation précédente deviendra donc

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }2\sin ^{3}p\cos ^{2}q\left({\frac {d\mu }{d\varphi }}\sin \varphi +\mu \cos \varphi \right)dpdq\\+&\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin p\cos q}{\sin q}}\\&\times \left\{\Pi \left[\cos \varphi +2\sin ^{2}p\sin q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )\right]-\Pi (\cos \varphi )\right\}dpdq\\&=h\sin \varphi \cos \varphi .\end{aligned}}$