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partant

${\begin{aligned}&\mathrm {(RV)^{2}+(VL)^{2}} =\\&\qquad r^{2}\cos ^{2}p+\sin ^{2}\varphi +2\alpha \sin ^{2}\varphi \Gamma (\cos \varphi )-2r\sin \varphi \sin p\sin(q+\varpi )\\&\qquad -2\alpha r\sin \varphi \sin p\sin(q+\varpi )\Gamma (\cos \varphi )+r^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}(q+\varpi )\,;\end{aligned}}$

mais, le point $\mathrm {R}$ étant supposé à la surface du corps, on a, par la nature de la courbe génératrice,

$\mathrm {(RV)^{2}+(VL)^{2}=\left[1-(CL)^{2}\right]\left[1+2\alpha \Gamma (CL)\right]} .$

Soit

$\sin ^{2}\varphi \Gamma (\cos \varphi )=\Pi (\cos \varphi )\,;$

on aura

$\mathrm {\left[1-(CL)^{2}\right]\left[1+2\alpha \Gamma (CL)\right]=1-(CL)^{2}+2\alpha \Pi (CL)} .$

donc, en comparant les deux expressions de $\mathrm {(RV)^{2}+(VL)^{2}}$ et substituant au lieu de $\mathrm {CL}$ sa valeur, on aura l’équation

${\begin{aligned}r-&2r\sin \varphi \sin p\sin(q+\varpi )+2r\cos \varphi \sin p\cos(q+\varpi )\\=&2\alpha \Pi \left[\cos \varphi +r\sin p\cos(q+\varpi )\right]-2\alpha \Pi (\cos \varphi )\\&+{\frac {2\alpha r}{\sin \varphi }}\Pi (\cos \varphi )\sin p\sin(q+\varpi )\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}r=&2\sin \varphi \sin p\sin(q+\varpi )-2\cos \varphi \sin p\cos(q+\varpi )\\&+{\frac {2\alpha }{r}}\Pi \left[\cos \varphi +r\sin p\cos(q+\varpi )\right]-{\frac {2\alpha }{r}}\Pi (\cos \varphi )\\&+{\frac {2\alpha }{\sin \varphi }}\Pi (\cos \varphi )\sin p\sin(q+\varpi ).\end{aligned}}$

Or soit $\mathrm {TM} =\alpha \mu ,$ on aura

$\mu \sin \varphi =\Pi (\cos \varphi )\,;$

ensuite

$\sin \varpi ={\frac {\cos \varphi d\varphi +\alpha d\mu }{\sqrt {d\varphi ^{2}+2\alpha d\mu d\varphi \cos \varphi }}}=\cos \varphi +\alpha {\frac {d\mu }{d\varphi }}\sin ^{2}\varphi$

et

$\cos \varpi ={\frac {\sin \varphi d\varphi }{\sqrt {d\varphi ^{2}+2\alpha d\mu d\varphi \cos \varphi }}}=\sin \varphi -\alpha {\frac {d\mu }{d\varphi }}\sin \varphi \cos \varphi \,;$