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donc on aura

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }={\frac {\sideset {_{r+1}}{_{n+1}}{\mathrm {H} }}{na^{n-2}}}\,;$

partant,

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}\left[r^{n}-{\frac {n+1}{1}}(r-1)^{n}+\ldots \right].$

Présentement, la superficie entière de la courbe est égale à

$\sideset {_{n}}{_{n}}{\mathrm {K} }+\sideset {_{n-1}}{_{n}}{\mathrm {K} }+\ldots .$

Nommant donc $\mathrm {S}$ cette superficie, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {S} ={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}&\left[\qquad n^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-1)^{n}+{\frac {(n+1)n}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots \right.\\&+(n-1)^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-2)^{n}+\ldots \\&\left.+(n-2)^{n}-{\frac {n+1}{1}}(n-3)^{n}+\ldots \right]\\={\frac {a^{2}}{n\nabla (n)}}&\left[n^{n}-n(n-1)^{n}+{\frac {n(n+1)}{1.2}}(n-2)^{n}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Or, en désignant par la caractéristique $\Delta$ la différence finie d’une quantité, on a, comme on sait,

$n^{n}-n(n-1)^{n}+\ldots =\Delta ^{n}0^{n}\,;$

d’ailleurs, on a généralement

$\Delta x^{n}=\nabla (n)\,;$

partant,

$\mathrm {S} ={\frac {a^{2}}{n}}.$

Remarque. – L’aire comprise entre les deux abscisses ${\frac {r-1}{n}}a$ et ${\frac {r}{n}}a$ doit être égale à l’aire comprise entre les deux abscisses ${\frac {n-r+1}{n}}a$ et ${\frac {n-r}{n}}a\,;$ c’est-à-dire que l’on doit avoir

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {K} }=\sideset {_{n-r+1}}{_{n}}{\mathrm {K} },$

parce que ces deux surfaces sont également situées par rapport aux