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or, posant $n=2,\ \sideset {_{4}}{_{n}}{\mathrm {B} }=0\,;$ donc

$\mathrm {H} =0.$

En continuant d’opérer ainsi, on trouvera généralement

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {B} }=\mp {\frac {n^{n-2}}{\nabla (n-2)}}{\frac {(n-2)(n-3)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots (r-2)}}$

ou

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {B} }=\mp {\frac {n^{n-2}a}{\nabla (r-2)\nabla (n-r)}}$

La troisième des équations $(\Psi )$ donne

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }={\frac {n-1}{n-3}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-3}\sideset {_{2}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }\,;$

d’où je tire, en intégrant,

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }={\frac {n^{n-3}\mathrm {H} }{\nabla (n-3)}}.$

Pour déterminer $\mathrm {H} ,$ j’observe que l’équation différentielle en $\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }$ ne commence à exister que lorsque $n=4\,;$ il faut donc, pour avoir $\mathrm {H} ,$ connaître $\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {C} }\,;$ or il est visible que $\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {C} }$ est le terme tout constant de l’expression de $\sideset {_{2}}{_{3,z}}y\,;$ partant, la dernière des équations $(\Psi )$ donne

$\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {C} }=\sideset {_{1}}{_{2}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\,;$

donc

$\sideset {_{2}}{_{3}}{\mathrm {C} }={\frac {a^{2}}{2}}\qquad$et$\qquad \mathrm {H} ={\frac {a^{2}}{1.2}}\,;$

ainsi

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {C} }={\frac {n^{n-3}a^{2}}{1.2.\nabla (n-3)}}.$

De là on tirera

$\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {C} }=-{\frac {n^{n-3}a^{2}}{1.2.\nabla (n-3)}}(n+\mathrm {H} ).$

Pour déterminer $\mathrm {H} ,$ il faut connaître $\sideset {_{3}}{_{3}}{\mathrm {C} }\,;$ or celle quantité est le terme tout constant de l’expression de $\sideset {_{3}}{_{3,z}}y\,;$ ainsi la dernière des équations $(\Psi )$ donne

$\sideset {_{3}}{_{3}}{\mathrm {C} }=\sideset {_{2}}{_{2}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+2.\sideset {_{2}}{_{2}}{\mathrm {B} }{\frac {a}{2}}={\frac {a^{2}}{2}}\,;$