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partant,

$\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left[\sideset {_{3}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-{\frac {(n-1)^{n-2}}{\nabla (n-2)}}(n-2)\right]\,;$

soit

$\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}u_{n},$

et l’on aura

$u_{n}=u_{n-1}+(n-2)\,;$

d’où l’on tire

$u_{n}={\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {H} \,;$

or, posant $n=2,$ on a $\sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }=0\,;$ donc

$\mathrm {H} =0\qquad$et$\qquad \sideset {_{3}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}.$

En continuant d’opérer ainsi, on trouvera

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\pm {\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots (r-1)}}$

ou

$\sideset {_{r}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\pm {\frac {n^{n-1}}{\nabla (r-1)\nabla (n-r)}}\,;$

le signe $+$ ayant lieu si $r$ est impair, et le signe $-$ s’il est pair.

J’observerai ici, relativement au produit ${\frac {1}{\nabla (n-1)}},$ que l’on a

${\frac {1}{\nabla (n-r)}}=1,$

lorsque $n-r=0$ et lorsque $n-r=1\,;$ en effet,

${\frac {1}{\nabla (n-r)}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots n}}.$

Or, cette dernière quantité est égale à $1,$ lorsque $n-r=1$ et lorsque $n-r=0\,;$ si $r$ est plus grand que $n,$ ces deux nombres étant supposés positifs et entiers, on a

${\frac {1}{\nabla (n-r)}}=0,$