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La première des équations $(\Psi )$ donne

$\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\sideset {_{1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\,;$

et en intégrant, par la méthode de la page 74 de ce Volume, on aura

$\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\mathrm {H} \left({\frac {2}{1}}\right)^{1}\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}\ldots \left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1},$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire ; or, posant $n=2,$ on a, $\sideset {_{1}}{_{2}}{\mathrm {A} }=2\,;$ donc $\mathrm {H} =1\,;$ on a d’ailleurs

$\left({\frac {2}{1}}\right)^{1}\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\ldots \left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}={\frac {n^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}},$

en désignant, comme je l’ai fait ailleurs (voir la page 74 de ce Volume), le produit $1.2.3\ldots (n-1)$ par $\nabla (n-1)\,;$ on aura donc

$\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}\,;$

partant,

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left[\sideset {_{2}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-{\frac {(n-1)^{n-2}}{\nabla (n-2)}}\right]\,;$

soit

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }={\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}u_{n}\,;$

on aura

$u_{n}=u_{n-1}-1\,;$

donc

$u_{n}=-n+\mathrm {H} \,;$

partant,

$\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=-{\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}(n-\mathrm {H} )\,;$

or, posant $n=2,$ on a $\sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=-2,$ car on a, par l’article II,

$\sideset {_{2}}{_{2,z}}y=-2z+a\,;$

donc

$\mathrm {H} =1\qquad$et$\qquad \sideset {_{2}}{_{n}}{\mathrm {A} }=-{\frac {n^{n-1}}{\nabla (n-1)}}(n-1)\,;$