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(voir la page 97 de ce Volume) ; l’expression précédente de $\sideset {_{r}}{_{n,z}}y$ donne

$\sideset {_{r}}{_{n-1,{\frac {nz-f}{n-1}}}}y=\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\left({\frac {nz-f}{n-1}}\right)^{n-2}+\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\left({\frac {nz-f}{n-1}}\right)^{n-3}+\ldots$

$+\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }\left({\frac {nz-f}{n-1}}\right)^{0}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}\int _{0}^{nz}\sideset {_{r}}{_{n-1,{\frac {nz-f}{n-1}}}}ydf=&\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}z^{n-1}+\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }{\frac {n-1}{n-2}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-2}z^{n-2}\\&+\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }{\frac {n-1}{n-3}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-3}z^{n-3}+\ldots +\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }nz\,;\end{aligned}}$

on aura pareillement

$\sideset {_{r-1}}{_{n-1,{\frac {a-s}{n-1}}}}y=\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\left({\frac {a-s}{n-1}}\right)^{n-2}+\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\left({\frac {a-s}{n-1}}\right)^{n-3}+\ldots +\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }.$

Donc

${\begin{aligned}\int _{0}^{a-nz}&\sideset {_{r}}{_{n-1,{\frac {a-s}{n-1}}}}yds=\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\left[\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-1}-\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}z^{n-1}\right]\\&+{\frac {n-1}{n-2}}\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\left[\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-2}-\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-2}z^{n-2}\right]+\ldots \\&+\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {G} }(a-nz).\end{aligned}}$

L’équation $(\sigma )$ donnera donc

${\begin{aligned}\sideset {_{r}}{_{n,z}}y=&z^{n-1}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-1}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }\right)\\&+z^{n-2}{\frac {n-1}{n-2}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-2}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\right)\\&+z^{n-3}{\frac {n-1}{n-3}}\left({\frac {n}{n-1}}\right)^{n-3}\left(\sideset {_{r}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }-\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {C} }\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-1}\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {A} }+{\frac {n-1}{n-2}}\sideset {_{r-1}}{_{n-1}}{\mathrm {B} }\left({\frac {a}{n-1}}\right)^{n-2}+\ldots .\end{aligned}}$

En comparant cette équation avec l’équation $(i),$ on aura les sui-