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moyenne sera ${\frac {4x-f}{3}}\,;$ or, par l’article précédent, le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est

${\frac {9}{2}}\left({\frac {4x-f}{3}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}(4x-f)^{2}.$

Si l’on multiplie cette quantité par $df,$ et qu’on l’intègre depuis $f=0$ jusqu’à $f=4x,$ on aura ${\frac {32}{3}}x^{3}$ pour le nombre des cas dans lesquels l’inclinaison moyenne des quatre orbites peut être $x\,;$ partant, on peut supposer que depuis $\mathrm {A}$ jusqu’en $a,$ l’équation de la courbe $\mathrm {A} m$ est

$a^{2}y={\frac {32}{3}}x^{3}.$

Pour avoir l’équation de la courbe $m\mathrm {M} ,$ je supppose $ay=z,$ partant $\mathrm {A} y={\frac {1}{4}}a+z\,;$ soit $f$ l’inclinaison du corps $\mathrm {M} ,$ la somme des inclinaisons des trois autres corps sera donc $a+4z-f\,;$ partant, leur inclinaison moyenne sera ${\frac {a+4z-f}{3}}\,;$ or, tant que $4z-f$ est une quantité positive, le nombre des cas dans lesquels cette inclinaison est possible, est (art. précédent)

${\frac {1}{2}}a^{2}+3a\left({\frac {4z-f}{3}}\right)-9\left({\frac {4z-f}{3}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}a^{2}+a(4z-f)-(4z-f)^{2}\,;$

si l’on multiplie cette quantité par $df,$ et que l’on intègre depuis $f=0$ jusqu’à $f=4z,$ on aura $2a^{2}z+8az^{2}-{\frac {64}{3}}z^{3},$ pour le nombre des cas qui ont lieu dans cet intervalle.

Pour avoir le nombre de ceux qui répondent à l’intervalle compris entre $f=4z$ et $f=a,$ je fais $f-4z=s\,;\ {\frac {a+4z-f}{3}}$ devient donc ${\frac {a-s}{3}}\,;$ soit $a-s=u,$ on aura ${\frac {u}{3}}$ pour l’inclinaison moyenne des trois orbites ; or le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est, par l’article précédent, ${\frac {1}{2}}u^{2}$ ou ${\frac {1}{2}}(a-s)^{2}\,;$ multipliant cette quantité par $ds$ et l’intégrant, depuis $s=0$ jusqu’à $s=a-4z,$ on aura ${\frac {1}{6}}a^{3}-{\frac {32}{3}}z^{3},$ pour le nombre de tous les cas possibles depuis $f=4z$ jusqu’à $f=a\,;$