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cette somme exprimera la probabilité demandée ; mais il est bien plus difficile de déterminer la probabilité que l’inclinaison moyenne des orbites sera comprise entre deux limites données ; ce problème me paraît être un des plus compliqués de toute l’analyse des hasards, surtout lorsqu’on se propose, ainsi que je l’ai fait, de trouver une formule générale pour un nombre quelconque de comètes. J’avoue qu’il m’aurait été impossible d’y parvenir sans le secours d’une méthode que j’ai donnée ailleurs ^[1], pour trouver directement l’expression générale des quantités assujetties à une loi qui sert à les former. J’espère que l’application de cette méthode au problème dont il s’agit ne sera pas inutile pour en faire connaître la nature et les avantages.

II.

Je suppose un nombre indéfini de corps lancés au hasard dans l’espace et circulant autour du Soleil ; il s’agit de trouver la probabilité que l’inclinaison moyenne de leurs orbites sur un plan donné, tel que l’écliptique, sera comprise entre deux limites données, comme $40^{\circ }$ et $50^{\circ }.$

Par inclinaison moyenne, j’entends la somme de toutes les inclinaisons divisée par le nombre des orbites.

Pour résoudre ce problème, je ne considère d’abord que deux corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et je suppose que la droite $\mathrm {AB}$ (fig. 1) représente $90^{\circ }$ ou la plus

Fig. 1.

grande inclinaison moyenne des deux orbites ; je commence par tracer une ligne $\mathrm {AZMB} ,$ dont chaque ordonnée soit proportionnelle à la pro

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 97.